Supremum

[candid orchid]

Question 10 i should show that the union of S= sup(A)

[waxen pagoda]

1. Ask your question and show the work you've done so far. If you've posted a screenshot of a question, specify which part you need help with.
2. Wait patiently for a helper to come along.
3. If the Helper has answered your question, remember to thank them with the Mathematics Ranks bot and close the thread with:

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4. Feel free to nominate the person for helper of the week in #helper-nominations
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[hoary bone]

I don't understand the wording. The notation $s\in A$ suggests that $s$ is an element of $A$, but a unions suggests that $s$ should be sets.
Usually in an undergraduate course of analysis it is known that any subset of $\mathbb{R}$ admits a supremum.
You seem to follow a course of set theory but it does not seem to be a standard course, you should provide more context.

[frozen talon]

mimshell

[candid orchid]

idk if u will understand it’s in french should I send the whole exercice

S is a section of A

So S is a set

And the set is in A

The union is the union of the element of the section

Idk if u get

[hoary bone]

I am French

[candid orchid]

and my level is mpsi

Je suis prépa mpsi

This the whole problem

U can see the definitions of part 2

To understand more

[hoary bone]

Ah d'accord donc il s'agit plus d'un devoir d'informatique ?

[candid orchid]

Comment ça ?

C’est des maths

[hoary bone]

Parce qu'il me semblait que la théorie des ensembles et les mathématiques discrètes, même s'il s'agit de maths, s'enseignaient plutôt dans les départements d'informatique.

[candid orchid]

Bah non je suis en prépa mpsi mdr

C’est plus dans la lecons des n’ombres réels

C’est à dire la construction de R

[hoary bone]

OK je regarde. Je connaissais seulement la complétude ou les coupures de Dedekind.

[candid orchid]

Je pense ça parle des coupures de dedekind

[trail basalt]

Je pense que tu peux réutiliser le résultat de la partie 1

La caractérisation du supremum

En particulier, comme sup A est une section, et l'union des S est aussi une section, tu peux utiliser cette caractérisation en utilisant l'ordre défini sur les sections

[candid orchid]

Oui je vais utiliser la caractérisation mais comment ?

[trail basalt]

le truc en rouge je l'appelle s

et tu vérifies les deux axiomes

est-ce qu'il est vrai que:
i) pour chaque a (section de Q) dans A, a est une sous-partie de s?
ii) pour tout x (section de Q), telle que x est une sous-partie stricte de s, il existe a (une section de Q) tq x < a <= s (en termes d'inclusion)?

propriété (i) m'a l'air assez facile à voir, la (ii) par contre a l'air plus vache

[candid orchid]

i) c’est immédiat par définition

Ouais voilà j’ai du mal avec ii justement

[trail basalt]

si x est une sous-partie stricte de S, tu peux trouver un rationel q tel que q n'est pas dans x, mais est dans s.

mais tu vois que s est une union, donc q est nécessairement dans un des membres de l'union

je te laisse voir si tu arrives à conclure

désolé les notations sont foireuses, je réécris en tex

Si $x$ est une sous-partie stricte de $s$, tu peux trouver $\tau \in \bQ$ tel que $\tau \notin x$, mais $\tau \in s$.
Cependant, $s = \bigcup_{t \in A} t$, donc comme $\tau \in s$, il existe $t \in A$ tel que $\tau \in t$.

[frozen talon]

Rion

[trail basalt]

lettre grecque: élément de Q
petite lettre alphabétique: ensemble, section de Q
A: ensemble d'ensembles

j'espère que ça t'aide à te repérer

[candid orchid]

bon je crois que jai compris

[trail basalt]

Parfait

[candid orchid]

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[fresh estuary]

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