proud coral
Hello everyone. We've got this facultative exercise to research and we can't quite figure out what to do. I think it's understandable despite the language, it's asking us to prove that all Ak = 0. Aside from the usual properties we studied in our chapters, we tried using tchebychev polynomials, algebraic numbers, it seemed like good (and fun) progress but we couldnt conclude much. Any indications or solutions?
hollow chasmBOT
Hello everyone. We've got this facultative exercise to research and we can't qui...
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unborn pebble
Hello everyone. We've got this facultative exercise to research and we can't qui...
Tient ça me rappelle un théorème que j’ai vu au sujet ENS cette année si $(b_i){1 \le i \le n}$ est une famille de nombres rationnelles tous distincts alors la famille $(e^{b_i}){1 \le i \le n}$ est libre dans $\mathbb{Q}$
steel patioBOT
Rotor
proud coral
Tient ça me rappelle un théorème que j’ai vu au sujet ENS cette année si $(b_i)_...
Est-ce traité quelque part? Je suis en sup mpsi j'ai pas encore le niveau pour faire un sujet ENS mais je peux comprendre si je lis
woven anchor
Normalement ce théorème (de Lindenmann-Weierstrass [1]) est valable pour des nombres algébriques, y compris s'ils sont dans C [2]. Donc j'imagine qu'il est appliquable à i, 2i, 3i, ..., li, non?
[1]: F. Lindemann, Über die Ludolph’sche Zahl, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenchaften zu Berlin, 2 (1882), 679–682. 1, 11
[2]: https://arxiv.org/pdf/2306.14352
violet wing
Oh I didn't know Rotor and Rion are both french
unborn pebble
Normalement ce théorème (de Lindenmann-Weierstrass [1]) est valable pour des nom...
Je penses que oui il est applicable ici pour des nombres algébrique dans C
unborn pebble
Est-ce traité quelque part? Je suis en sup mpsi j'ai pas encore le niveau pour f...
Tu peux voir l’énoncé du théorème sur internet (Wikipedia) tape « théorème de Lindenmann-Weierstrass »
Et pour une preuve je penses que tu peux en trouver sur internet aussi si ça t’intéresses
woven anchor
Ma référence [2] contient une preuve
unborn pebble
Ma référence [2] contient une preuve
Ah ok désolé j’avais pas fait attention
proud coral
Merci beaucoup à vous les deux. Je check ça ce soir et je reviens si j'ai des questions et close sinon
Ok question bête peut-être mais ce théorème donne la somme de Ak × exp(Ak) sauf qu'on a la valeur dans le sinus différent du scalaire, donc je l'exploite comment le théorème ? Ou bien, au lieu de l'appliquer je dois juste m'inspirer de la preuve?
proud coral
Je pense que j'ai capté j'ai juste mal lu le truc 💀 ça dit que les exp(Ak) sont Q libres pour des nombres algebriques distincts, donc je prends Ak les l premiers naturels. Je pense que j'ai eu le truc
woven anchor
Je pense que j'ai capté j'ai juste mal lu le truc 💀 ça dit que les exp(Ak) sont...
Oui tu prends exp(i), exp(2i), ..., exp(li)
Sachant que i, 2i, ..., li sont algébriques
proud coral
😩 on a essayé de suivre la preuve mais c'est un peu compliqué surtout avec tout ce qu'on a pas étudié, et je peux pas lui poser le théorème directement donc je vais devoir trouver d'autres pistes
woven anchor
Peut-être si tu admets que cos(1) est transcendent, tu peux montrer que du coup cos(1), ..., cos(l) sont libres dans le Q-espace vectoriel R
En utilisant les polynômes de Chebyshev
En remarquant que cos(k) = Tk(cos 1)
Et du coup tu utilises le hack de l'exponentielle complexe pour avoir la liberté des sin(k)
proud coral
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