Trigonometric Proof

[boreal summit]

Prove that
(cos a - cos b)^2 + (sin a - sin b)^2 = 4 sin^2 (A-B / 2)

This question is from SL Loney's Problems in plane trigonometry. i know this can be done by opening the brackets but i would like to use cos A - cos B = 2sin(A+B/2)sin(B-A/2)
sin A - sin B = 2sin(A-B/2)cos(A+B/2)

[naive iron]

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[boreal summit]

i have seen lot of people use cos A - cos B = 2sin(A+B/2)sin(A-B/2)

so is cos A - cos B equal to both 2sin(A+B/2)sin(A-B/2) and 2sin(A+B/2)sin(B-A/2) ?

[winter stratus]

En fait, cos A - cos B est une identité remarquable que tu peux facilement démontrer en te basant sur les 3 formules essentielles.
On a: cos A - cos B = -2 sin([A+B]/2)sin([A-B]/2)
||De plus, si tu inverses A et B dans la deuxième fonction, le signe de sin devient négatif (sinus étant une fonction impaire). ||
Par conséquent, tu auras cos A - cos B = 2 sin([A+B]/2)sin([B-A]/2) = -2sin([A+B]/2)sin([A-B]/2)
PS: Je te conseil vivement de démontrer cette formule basée sur les indications données ci-haut.

[boreal summit]

ah, je comprends. merci pour ton help

[winter stratus]

Pas de problème ! 😄
Pour la formule que tu as donnée (pour sin ^4), il y a plusieurs moyens de la démontrer. Après, tu peux tjr le faire avec les formules données mais bon: c'est juste un développement et une simple factorisation 😅

[boreal summit]

Je viens de réaliser que nous élevons au carré cos A - cos B, ce qui devrait supprimer le signe négatif

Merci pour votre aide

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