whats the sum of the squares of the solutions

[fading tinsel]

Whats the question?

[slender fog]

probably asking to solve for x

idk tho I don't speak russian

"determine the sum of the squares of the solutions"

[snow fox]

raul.sc
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[wintry comet]

Bem, como você é brasileiro, vou te responder em português.
A primeira fração pode ser escrita como
$$\frac{1-ix}{1+ix}=\frac{(1-ix)^2}{(1+ix)(1-ix)}=\frac{(1-ix)^2}{1+x^2}=-\frac{x^2+2ix-1}{1+x^2}.$$
O termo elevado a 4 no segundo lado da equação pode ser escrito como
$$\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}-\frac{(1-i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{(1+i)^2-(1-i)^2}{2}=\frac{4i}{2}=2i.$$
Assim, a equação se simplifica a
$$-\left(\frac{x^2+2ix-1}{1+x^2}\right)^3=-8i.$$
Para fins de simplificação, vamos usar a substituição $y=\frac12\frac{x^2+2ix-1}{1+x^2},$ que nos leva a
$$y^3=i.$$
Agora, podemos aplicar a 2ª lei de De Moivre. Como $\arg(i)=\frac{\pi}{2}$, temos
$$y=\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac23k\pi\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac23k\pi\right),$$
para $k\in{0,1,2}$. Por simplicidade, vamos chamar esse valor de $z$. Temos, então,
$$\frac12\frac{x^2+2ix-1}{1+x^2}=z\implies x^2+2ix-1=2(1+x^2)z\implies(1-2z)+2ix-1-2z=0.$$
Pelo teorema de Girard, as raízes dessa equação possuem soma $x_1+x_2=\frac{2i}{2z-1}$ e produto $x_1x_2=\frac{2z+1}{2z-1}$. Uma vez que
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2,$$
Temos
$$x_1^2+x_2^2=\left(\frac{2i}{2z-1}\right)^2-2\frac{2z+1}{2z-1}=\frac{-4-2(2z+1)(2z-1)}{(2z-1)^2}$$
$$=-\frac{4+2(4z^2-1)}{(2z-1)^2}=-2\frac{4z^2+1}{(2z-1)^2}=-2\frac{(2z-1)^2+4z}{(2z-1)^2}=-2-\frac{4z}{(2z-1)^2}.$$
No entanto, temos três valores possíveis para z. Logo, temos que somar as três expressões correspondentes aos diferentes valores de z. Temos $z(0)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac12i$, $z(1)=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac12i$ e $z(2)=i$. Portanto,
$$\sum_{i=1}^6x_i^2=-6-2\left[\frac{\sqrt{3}+i}{(\sqrt{3}+i-1)^2}+\frac{-\sqrt{3}+i}{(-\sqrt{3}+i-1)^2}+\frac{2i}{(2i-1)^2}\right].$$

[snow fox]

raul.sc

[main gale]

russian lol

[main gale]

valeu