Calling function wolfram...
{
"search_query": "P(x)=x^3+2x^2-7x+lambda"
}
Finished calling function wolfram.
Pour trouver la valeur de c telle que le carré d'une racine de P(x) soit égal à la somme du carré des deux autres racines, nous allons utiliser les relations entre les racines d'un polynôme.
Nous avons le polynôme P(x) = x^3 + 2x^2 - 7x + lambda, où lambda est une constante. Les racines de ce polynôme sont r1, r2 et r3.
Selon la relation entre les racines d'un polynôme de degré 3, nous avons les équations suivantes :
r1 + r2 + r3 = -2
r1r2 + r2r3 + r3r1 = -7
r1r2*r3 = lambda
Maintenant, nous cherchons une valeur de c telle que le carré d'une racine (disons r1) soit égal à la somme du carré des deux autres racines (r2 et r3).
(r1^2) = (r2^2) + (r3^2)
En utilisant les relations entre les racines, nous pouvons exprimer r2 et r3 en fonction de r1 :
r2 = -r1 - r3
r3 = -r1 - r2
Substituant ces valeurs dans l'équation précédente, nous obtenons :
(r1^2) = (-r1 - r3)^2 + (-r1 - r2)^2
En simplifiant cette équation, nous avons :
r1^2 = r1^2 + 2r1r3 + r3^2 + r1^2 + 2r1r2 + r2^2
En regroupant les termes similaires, nous obtenons :
0 = 2r1^2 + 2r1*(r2 + r3) + r2^2 + r3^2
En utilisant les relations entre les racines, nous pouvons simplifier davantage cette équation :
0 = 2r1^2 + 2r1*(-r1) + r2^2 + r3^2
0 = 2r1^2 - 2r1^2 + r2^2 + r3^2
0 = r2^2 + r3^2
Ainsi, pour que le carré d'une racine soit égal à la somme du carré des deux autres racines, r2^2 + r3^2 doit être égal à zéro.
Maintenant, revenons à l'équation r1 + r2 + r3 = -2. Si nous posons r1 = 0 et r2 = r3 = -1, cette équation est satisfaite.
Pour trouver la valeur de c, nous utilisons la relation entre les racines d'un polynôme de degré 3 :
r1r2r3 = -c
Comme nous avons fixé r1 = 0, cela signifie que c = 0.
Donc, pour que le carré d'une racine de P(x) soit égal à la somme du carré des deux autres racines, le polynôme P(x) = x^3 + 2x^2 - 7x + lambda doit avoir lambda = 0 et c