Чтобы найти закон движения в векторной форме, нужно воспользоваться уравнением движения с ускорением, зная ускорение и начальные координаты.
Вектор ускорения дан в условии: vec a(t) = 4t vec i + 2x vec i. Заметим, что вектор ускорения зависит от времени и координаты x.
Сначала найдем вектор скорости через интегрирование вектора ускорения по времени:
vec v(t) = ∫ vec a(t) dt = ∫ (4t vec i + 2x vec i) dt.
Но тут возникает сложность, мы должны выразить x через t. Заметим, что вторая часть ускорения - 2x vec i, соответствует Центробежному ускорению. Исходя из формулы центробежного ускорения: a_centr = ω^2 * R, где R - радиус круговой траектории, мы можем предположить, что второй знак равенства 2x = ω^2 * R, или x = 0.5 * ω^2 * R. Теперь мы можем интегрировать:
vec v(t) = ∫ vec a(t) dt = ∫ (4t vec i + 2 (0.5 * ω^2 * R) vec i) dt
vec v(t) = 2t^2 vec i + ω^2 * R * t vec i + vec C1,
где vec C1 - интегральная константа, которую нужно определить через начальные условия.
Нам дано, что в начальный момент времени (t = 0) частица находилась в точке с координатами x = 0, y = 0. Это значит, что также в t = 0, vec v(0) = vec 0. Таким образом, vec C1 = vec 0:
vec v(t) = 2t^2 vec i + ω^2 * R * t vec i.
Далее найдем вектор положения через интегрирование вектора скорости по времени:
vec r(t) = ∫ vec v(t) dt = ∫ (2t^2 vec i + ω^2 * R * t vec i) dt
vec r(t) = (2/3) * t^3 vec i + 0.5 * ω^2 * R * t^2 vec i + vec C2,
где vec C2 - еще одна интегральная константа.
Так как частица находилась в координатах x = 0, y = 0 в начальный момент времени (t = 0), vec r(0) = vec 0, отсюда vec C2 = vec 0.
Таким образом, искомый закон движения в векторной форме:
vec r(t) = (2/3) * t^3 vec i + 0.5 * ω^2 * R * t^2 vec i.