rac{dy}{dx}
]
La ecuación original es:
[
\left(y^{2} e^{x} + \frac{\cos(x)}{y}\right) + \left(2 y e^{x} - \frac{\sin(x)}{y^{2}}\right) \frac{dy}{dx} = 0
]
Vamos a despejar ( \frac{dy}{dx} ):
[
\left(2 y e^{x} - \frac{\sin(x)}{y^{2}}\right) \frac{dy}{dx} = - y^{2} e^{x} - \frac{\cos(x)}{y}
]
[
\frac{dy}{dx} = \frac{- y^{2} e^{x} - \frac{\cos(x)}{y}}{2 y e^{x} - \frac{\sin(x)}{y^{2}}}
]
Multiplicando numerador y denominador por ( y^{2} ):
[
\frac{dy}{dx} = \frac{- y^{4} e^{x} - y \cos(x)}{2 y^{3} e^{x} - \sin(x)}
]
Con la sustitución ( z = y^{-3} ), o ( y = z^{-1/3} ), sabemos que:
[
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3} z^{-4/3} \frac{dz}{dx} = - \frac{1}{3} y^{4} \frac{dz}{dx}
]
Entonces,
[
\frac{dy}{dx} = - \frac{1}{3} y^{4} \frac{dz}{dx}
]
Sustituimos en la ecuación:
[
- \frac{1}{3} y^{4} \frac{dz}{dx} = \frac{- y^{4} e^{x} - y \cos(x)}{2 y^{3} e^{x} - \sin(x)}
]
Multiplicamos ambos lados por (-3 / y^{4}):
[
\frac{dz}{dx} = \frac{3}{y^{4}} \cdot \frac{y^{4} e^{x} + y \cos(x)}{2 y^{3} e^{x} - \sin(x)}
]
Simplificamos:
[
\frac{dz}{dx} = 3 \cdot \frac{e^{x} + \frac{\cos(x)}{y^{3}}}{2 y^{3} e^{x} - \sin(x)}
]
Recordando que ( z = y^{-3} ), tenemos:
[
\frac{dz}{dx} = 3 \cdot \frac{e^{x} + \cos(x) z}{2 e^{x} / z - \sin(x)}
]
Pero aquí ( 2 y^{3} e^{x} = 2 e^{x} / z ) es incorrect, pues ( y^{3} = z^{-1} ), así que ( y^{3} = \frac{1}{z} ).
Por lo tanto,
[
2 y^{3} e^{x} = 2 \cdot \frac{1}{z} e^{x} = \frac{2 e^{x}}{z}
]
Entonces el denominador es:
[
\frac{2 e^{x}}{z} - \sin(x)
]
La ecuación queda finalmente:
[
\frac{dz}{dx} = 3 \cdot \frac{e^{x} + \cos(x) z}{\frac{2 e^{x}}{z} - \sin(x)}
]
Multiplicando numerador y denominador por ( z ):
[
\frac{dz}{dx} = 3 \cdot \frac{z e^{x} + \cos(x) z^{2}}{2 e^{x} - z \sin(x)}
]
Esta forma puede facilitar la resolución, pero es aún algo complicada.
Ejercicio 2
Aproximar el valor de (\sin(0.1)) mediante el pol